とてつもない数学 目からウロコ!

とてつもなく面白い数学

1兆ってどのくらいの大きさ?

あなたは、「1兆」の大きさをイメージできるだろうか? 「◯兆個」のものを目にする機会は滅多になく、その大きさを実感するのは難しい。

では1から順に1兆まで数えると、どのくらいかかるか考えてみよう。1時間は3600秒で1日は24時間だから、1日は約9万秒。1日あたりだいたい10万まで数えられるとすると、1年で3650万、3年で約1億。1兆まで数えるとおよそ3万年かかる計算だ。今から3万年前というとネアンデルタール人が絶滅した頃である。

ちなみに、1兆メートルは地球のおよそ2万5000周分であり、地球から太陽までの距離の約6.7倍である。このように意味付けされることで、「1兆」がとてつもなく大きな数であることが初めて実感できるだろう。

単位量あたりの大きさを利用した意味付けは、他人を説得する際に欠かせない。2008年、スティーブ・ジョブズはアップルのイベントで、初代iPhoneが「発売200日間で400万台売れた」ことを紹介した。その際「毎日2万台売れていることに等しい」と付け加えている。ジョブズは「1日2万台」という単位量あたりの大きさをうまく使うことで、一瞬にして数字の大きさの意味を聴衆に理解させることに成功したのだ。

大きな数字をイメージしやすくするために全体を小さな数字に縮小する手法は、様々な場面で利用されている。

累乗のとてつもない爆発力

「2×2×2」のように、同じ数を繰り返し掛けることを累乗という。掛け合わせる回数が増えると、途中から爆発的に変化する。

たとえば、新聞紙を折った時の厚さ。新聞紙の厚さを0・1ミリメートルとすると、n回折り曲げたときの厚さは0・1×2n(ミリメートル)である。14回では約164センチメートルと、成人女性の平均身長を超えるくらいになる。しかし、この後が急激だ。30回で約170キロメートル(東京〜熱海間の距離)、42回で月までの距離(約38万キロメートル)を超える。累乗は途中から爆発的に大きくなることがイメージできるはずだ。

累乗を拡張した指数関数を使うと、社会現象も記述することができる。18〜19世紀に活躍したイギリスの経済学者マルサスは『人口論』の中で、「今後、人口は等比数列的に増加する」と予測した。「等比数列的に増加」とは、「1、3、9、27、……」と、最初の数に同じ数を繰り返し掛けていくことである。その増え方は累乗の増え方にほかならない。

実際、19世紀末から世界人口は「人口爆発」と呼べるほどの速さで増加している。1800年に約10億人だった世界人口は、200年後の2000年には61億人まで増えた。2056年には100億人に達すると言われている。

指数関数というシンプルな初等関数で、人間の自由意志による社会活動の営みが表現できてしまう。そこに数学のとてつもない可能性を感じる。

整数の不思議

0と、0から順に1ずつ増やす(1、2、3、……)か減らす(-1、-2、-3……)と得られる数の全体を、整数という。整数は私たちに馴染みのある数であるが、その性質は謎に包まれている。

整数にはさまざまなキャラクターがあり、自然数、素数、偶数、奇数、三角数、平方数、友愛数、ピタゴラス数など、いろいろな名前が付いている。その中に「完全数」というものがある。

完全数とは、正の整数の範囲で、ある整数について、自分自身を含まないすべての約数を足し合わせたものが、もとの数に一致するときの数を指す。最小の完全数は6である。6の約数は6を除くと1、2、3で、これらを足し合わせると6になる。

なお、1万以下の完全数は、6、28、496、8128の4つしかない。紀元前から現在まで続く研究で見つかった完全数はたったの51個で、51番目の完全数は4900万桁以上もあるという。証明はされていないが、無限個あることが期待されている。

ちなみに、最初の完全数が6であることは、神が6日間で世界を創造したことと関係があると言われている。6の倍数は色々な数で割りきれる便利な数であり、実際私たちの身の回りにある多くの数(12カ月、24時間、60分、360度など)は、6の倍数になっている。

次の完全数の28は、原子核が特に安定する、陽子と中性子の個数の合計である。成人の頭蓋骨を構成する、舌骨を除いた骨の数や、親知らずを除く歯の数とも一致している。また、28年経つと閏年を7回またぐため、月日と曜日の関係が一巡する。つまり28年前のカレンダーはそのまま使うことができる。

【必読ポイント!】 論理的思考の原点

欧米エリートの必読書『原論』

紀元前3世紀頃、古代ギリシャのユークリッドが著したとされる『原論』。世界最古の数学テキストであり、少なくとも100年前まで、世界中の高校で教科書として使われていた。聖書を除けば、史上最高の世界的ベストセラーである。

なぜ『原論』はここまで広く流布したのだろうか。それは、数学のみならず、すべての分野に通じる論理的思考の方法が書かれているからである。古代ギリシャ文化を受け継ぐ欧米では、古くから論理的思考が尊ばれてきた。センスやヒラメキよりも、まわりの人を説得し、対立する相手の主張も理解する「論理力」こそが、リーダーに必要な資質だと考えられているのだ。『原論』は論理力を学ぶための最良のテキストであり、現代の欧米エリートたちにとってもなお必須の教養なのである。

『原論』に書かれている論理的思考法は、「定義と公理から始めて正しい命題を積み上げる」という方法である。「定義」とは「言葉の意味」であり、議論に使う言葉の曖昧さや誤解を避けるためのものである。「公理」は「前提としての約束事」、出発点になるような共通の認識のこと。そして「命題」は、「客観的に真偽が判断できる事柄」を指す。議論をして積み上げることができるのは「正しい命題」だけである。誤った命題を積み上げて得られた結論は、論理的に正しいとは言えない。

定義→公理→命題→結論

論理的思考法を具体的場面で考えてみよう。電車の中で携帯電話で通話することの是非を議論するとする。ここでは、「まわりに人がいる状態」を「他人の話し声が聞こえる状態」と「定義」する。議論の前提となる「公理」は、「他人に迷惑をかけてはいけない」ことだ。定義した状態が他人に迷惑をかけるかどうか、客観的に判断可能な「命題」は以下のように検討できる。まず人間は、電話のように会話の片方しか聞こえない状態が続くと、無意識のうちに会話の内容を知りたくなってしまい、気が取られる。これは心理学で「認知機能の乗っ取り」と呼ばれている。この「認知機能の乗っ取り」にあうと、人間はイライラしてしまう。したがって導かれる結論は、「まわりに人がいる状態では通話すべきでない」となる。

以上の「定義→公理→(正しい)命題→結論」という論理的思考法は、哲学者のプラトンが最初に明言したと言われている。『原論』は、ユークリッド自身が発見した新しい事実を書いたのではない。ピタゴラスから発展した幾何学等を、プラトンの論理的思考の法則に従って体系立てて明解に記述したものなのだ。

AIや機械学習が席巻している今日、論理的思考の重要性はますます高まってきている。しかし、日本は欧米と比べるとまだまだ「ロジカル・シンキング」が浸透していない。それは、私たち日本人が『原論』を読んでこなかったことと無関係ではないだろう。

とてつもなく便利な数学

先頭にくることが最も多い数は?

私たちの身の回りには、たくさんの数字がある。営業成績、人口、住所、株価などもすべて数字だ。それらは言うまでもなく、0~9の組み合わせでできている。では、あらゆる数値の中で、先頭にくるものとして最も多い数字は何だろうか。実は、そこには顕著な規則性があるのだ。

先頭にくる数字として最も多いのは1であり、その割合は全体の約30%を占める。そして、2は17・6%、3は12・5%というように数字が大きくなるごとに割合は小さくなり、9で始まる数値の割合は5%ほどしかない。

これは、アメリカの物理学者フランク・ベンフォードが1938年に提唱した、「ベンフォードの法則」と呼ばれている。ベンフォードは分子量や川の流域面積、新聞の記事、圧力、デザインなど約2万例を超えるサンプルを集めて、この法則にたどり着いたという。

細菌の増殖のように、自然界では一定の時間間隔で2倍に増えていく「指数関数的な増加」がよく見られる。この増え方では、先頭の数字が「1」である期間は、ほかの数字よりも特に長くなる。

そのほか、会員番号のように順番に番号が与えられる場合や、川の長さのようにある範囲に一様に数値が分布することが期待できるケース、ランダムに集めたデータでは、ベンフォードの法則が成り立つ。

粉飾決算を見抜く方法

ベンフォードの法則は、私たちの社会生活にも役立てることができる。「グーグルを世界一にした経済学者」と呼ばれるハル・ヴァリアン氏は、この法則を使えば「粉飾決算を見抜くことができる」と言った。

会社の帳簿などで金額を偽装しようとしたとき、ベンフォードの法則を知らないと、先頭の数字を均等すぎ、あるいは偏りすぎの分布で書くことがある。法則から大きく外れるため、偽のデータであることが発見できるのだ。

実際これで帳簿の不正発覚に繋がったケースがある。1990年代はじめ、会計学校講師のマーク・ニグリニ氏が「各企業収支の最高桁の数字が、ベンフォードの法則に従う分布を示すか確かめよ」という課題を出した。するとある学生が、親戚の経営する金物屋の帳簿の数字が法則とはまったく違うものであることを発見したという。

今ではベンフォードの法則は、会計監査だけでなく選挙の不正投票の検証にも使われている。

統計は嘘をつく

一方が増えれば他方も増えるというような傾向があることを「相関関係がある」と言う。膨大なデータから意外な組み合わせを見つけるために、相関関係を調べることがある。しかし、その際に注意すべき点が2つある。

1つは、得られた相関関係は、あくまでその調査対象のみの結果であることだ。たとえば、ある塾の生徒に「英語の点数が高いほど数学の点数も高い」という相関関係があるとする。しかし、全国すべてを調べたわけではないので、日本の学生全体にあてはまる傾向かはわからない。

もう1つは、ある2つの量の間に相関関係が見つかったとしても、両者に因果関係があるとは限らないことだ。「新聞の購買」と「年収」の間に正の相関があったとする。これを見て、「新聞を読めば年収が上がる!」と期待するかもしれない。しかし、社会的地位が上がり年収が高くなったことで、社交上の話題作りとして新聞を読む必要性が高まっただけかもしれない。因果関係が本当に成立するかどうかを見極めるのは、とても難しいのだ。

「統計」は、数字やグラフを介して伝えられることで圧倒的な説得力を持つ。反論を許さないような空気も感じる。しかし、統計がいつも正しいとは限らない。データが偏っていたり、適切な処理が行なわれていなかったり、データそのものが改ざんされていたりすることもある。

これからますます、正しい統計と誤った統計が入り乱れる世の中になるだろう。私たちは真の統計リテラシーを持ち、宝の山であるデータから本当に必要な、正しい情報を引き出せるようにならなければならない。

一読のすすめ

本書には、レビューに紹介したような面白い数学クイズが多数散りばめられており、箸休め的に解いていくのが楽しい。「鶴亀算を効率よく解く方法」や「指を使った掛け算」など、「なるほど!」とつい人に話したくなるネタも満載だ。イラスト図解付きでわかりやすく、ついパラパラとめくって、面白そうな問題を探してしまう。数学に苦手意識のある人も、気が付けばハマっていること間違いなしだ。「東京にマンホールはいくつあるか」など、就活試験で出てくるようなフェルミ推定を用いたものも紹介されている。

楽しみながら、いつの間にか数学の知識も歴史も雑学も、数字の応用力も会得できてしまう、なんともおトクな一冊である。